ЛОГИЧЕСКИ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Като цяло математическите теореми имат формата на импликации.Ако импликацията a=>b ( a и b са съждения или съждителни функции ) е теорема, то нейния предходник a се нарича усло-вие, а наследника b сe нарича теза ( зак-лючение ) на теоремата.

Например, в теоремата на аритметиката :

( 1 )                                           4½m => 2½m

( ако m се дели на 4, то m се дели  на 2 ), условие е 4½m ( m се дели на 4 ), а теза е 2½m ( m се дели на 2 ).

        

Ако импликацията a => b е теорема, то a  наричаме също достатъчно условие за това, че b, а b - необходимо условие за това, че a . В случая с теорема ( 1 )  4½m е достатъчно условие за това, че 2½m, а 2½m е необходимо условие за това, че 4½m.

         За дадена импликация a=>b, която наричаме права, импликацията b=>a се нарича обратна. Верността на едната от тях не осигурява верността и на другата.Например импликацията ( 1 ) е съждителна функция, вярна за множеството на всички цели числа, докато обратната импликация не е теорема на аритметиката и не е вярна в множеството на всички цели числа.

         Нека разгледаме следния закон на съждителното смятане, наречен закон на контрапозицията :

( 2 )                                      ├ ( a =>;b ) <=> (∼b =>∼a ),

От този закон следва, че за произволни съждения ( съждителни функции ) a и b са в сила :

( 3 )                                       ( a => b ) º (∼b =>∼a ),

( 4 )                                       ( b => a ) º (∼a =>∼b ).

        

Законът на контрапозицията, заедно с правилата на отделяне на еквиваленцията и др., позволяват във всяко дедуктивно съждение или съждителна функция от вида a=>b да се замести с ∼b =>∼a  и обратно.

         За всяка права импликация a => b импликацията ∼b =>∼a се нарича  противоположна на обратната, а импликацията ∼a =>∼b - противоположна. Формули ( 3 ) и ( 4 ) гласят, че правата импликация и противоположната на обратната импликация са равнозначни и че обратната импликация и противоположната импликация са равнозначни.Тези зависимости могат да се предсавят чрез един четириъгълник, който се нарича логически четириъгълник ( фигура 1 ).

                                            a => b                  b => a

                                         ∼a =>∼b               ∼b =>∼a

                                           фиг.1 Логически четириъгълник

             При върховете на четириъгълника, в краищата на един и същи диагонал, са разположени еднозначните импликации. От ( 3 ) и ( 4 ) следва, че за доказването на импликациите a => b,  b => a,  ∼a =>∼b,  ∼b =>∼a е достатъчно да се докаже само една произволна двойка импликации, разположени в краищата на една и съща страна на четириъгълника.Наистина останалите са равнозначни съответно на една от вече доказаните.Всяка от следните двойки импликации : права - противоположна и обратна – противоположна обратна, образуват затворена импликационна система.